Informations sur le mouvement du projectile

Le calcul de la trajectoire d’un projectile peut être modélisé par les lois de la cinématique. Si l’on néglige la résistance de l’air, la trajectoire du projectile suit une parabole. Les équations horaires de la position en fonction du temps sont les suivantes :

Équations horaires :

Position en X (horizontal) : \( x(t) = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t \)

Position en Y (vertical) : \( y(t) = v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \)

Temps de vol total : \( t = \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin(\theta)}{g} \)

Où :
v₀ est la vitesse initiale du projectile (en m/s),
θ est l'angle de lancement (en degrés),
g est l'accélération due à la gravité, égale à 9.81 m/s².

Explication des paramètres :

• Vitesse initiale (v₀) : C'est la vitesse avec laquelle le projectile est lancé. Elle détermine l'énergie cinétique initiale du projectile.
• Angle de lancement (θ) : L'angle avec lequel le projectile est lancé par rapport à l'horizontale. Cet angle influence la hauteur maximale et la portée du projectile.
• Masse (m) : La masse du projectile, bien qu'elle n'affecte pas directement la trajectoire dans le cadre de ce modèle sans résistance de l'air, est une donnée importante dans la dynamique du mouvement.

En fonction de ces paramètres, nous pouvons calculer la trajectoire du projectile et la visualiser graphiquement.

Équations du mouvement

La vitesse initiale du projectile est décomposée en deux composantes :
- Composante horizontale : v₀ₓ = v₀ * cos(θ)
- Composante verticale : v₀ᵧ = v₀ * sin(θ)

L'accélération dans la direction horizontale est nulle : aₓ = 0
L'accélération dans la direction verticale est due à la gravité : aᵧ = -g

L'équation horaire dans la direction horizontale : x(t) = v₀ * cos(θ) * t

L'équation verticale y(t) décrit la position du projectile à un instant donné dans la direction verticale. Pour la dériver, voici les étapes :

1. Composante verticale de la vitesse : La vitesse initiale dans la direction verticale est donnée par v₀ᵧ = v₀ ⋅ sin(θ). Ainsi, la position initiale verticale est y(0) = 0, et la vitesse initiale verticale est v₀ᵧ.
2. Accélération verticale : Le projectile subit une accélération due à la gravité, aᵧ = -g, qui agit dans la direction négative de l'axe vertical.
3. Équation de la vitesse verticale : La vitesse verticale à un instant t est donnée par :
   vᵧ(t) = v₀ᵧ - g ⋅ t.
4. En intégrant cette équation de la vitesse, on obtient l'équation horaire de la position verticale :
   y(t) = v₀ᵧ ⋅ t - ½ ⋅ g ⋅ t²,
   où v₀ᵧ = v₀ ⋅ sin(θ).

Cette équation montre que la position verticale dépend de la vitesse initiale et de l'accélération gravitationnelle. Plus le temps passe, plus l'effet de la gravité devient important et diminue la hauteur du projectile.